자기상관함수
시계열분석은 T시점의 값이 그 이전의 값들과 구조적인 연관을 맺고 있다는 가정에서 부터 시작한다. 이것을 구체적으로 자기상관(Auto-Correlation)이라고 한다. 우선, 시계열의 확률과정을 이해할 필요가 있다. 시계열 변수 $y_t,y_{t-1},y_{t-2} \dots y_{t-s}$가 있다고 가정을 하자.
다변량 확률분포
여기서 중요한것이 평균 $u_{t}$인데, 아래와 같이 표현될 수 있다. \(\mu_{yt}=E(y_{t})=\int_\infty^{\infty}y*f_t(y)dy\)
자기상관함수(ACF, Auto-Correlation Function)
자기상관함수란 말그대로 자기 자산의 특정시점t부터 과거시점까지 상관관계를 파악하는 함수이다. 이러한 상관계수를 토대로 과연 얼만큼 시계열을 분석해야하고, 범위는 어떻게 되어야 하는지 파악할 수 있다. 특정 시계열 $x_t \dots x_{t-s}$자기 공분산과 자기상관계수는 아래와 같이 나타낼 수 있다. 시계열 $x_t \dots x_{t-s}$의 공분산 행렬 중 t,s부문을나타낸 것이다.
\[\gamma_x(t,s)= E[(x_t-\mu_t)(x_s-x_s)] \\ \rho(t,s)=\frac{\gamma_x(t,s)}{\gamma_x(t,t)\gamma_x(s,s)}\]시계열이 x={1,2,3,4,5}가 있다고 가정해보자. 우선 $E(\bar{x})$는 3이다. 각각의 $x_1 \dots x_5$ 평균과 정규분포를 갖는다.